13.4 行列式和迹

什么叫n×n矩阵的行列式呢？这是由矩阵元素计算出的一个数。当且仅当矩阵是奇异阵时这个数为0。图示记法可清楚地描述行列式，如图13.8（a）。而它的指标记法则为

这里εa…d和εe…h是反对称列维－齐维塔张量，对n维空间情形，二者按

εa…dεa…d=n！

归一化（还应记得n！=1×2×3×…×n），其中a，…，d和e，…，h数值上都是n。

我们还可以将行列式写成det（Tab）或detT（有时也写成｜T｜，或组成矩阵的阵列，只是用两道竖线代替了圆括号）。具体到2×2和3×3矩阵情形，其行列式写为**〔13.21〕

行列式满足一种重要而且十分明显的关系

det AB=detA detB，

在图示记法（图13.8（b））里这种关系看得更清楚。这里的关键是有图12.18***〔13.22〕的公式化体系作保证。当用指标记法来写时，上式形同

（方括号用法见§11.6）和

我们还有矩阵（或称为线性变换）的迹的概念

traceT=Taa=T11+T22+…+Tnn

（即沿主对角线的各元素之和，见§13.3），其图示记法见图13.9。与行列式不同的是，这里没有两个矩阵的积AB的迹分别与A的迹和B的迹之间的特有的关系。但有关系*〔13.23〕

trace（A+B）=trace A+trace B。

行列式与迹之间存在一种重要联系，它主要用于处理“无穷小”线性变换。给定n×n矩阵I+εA，其中ε是“无穷小”的数，这时我们可以忽略其平方ε2（包括更高阶的幂ε3，ε4等），将行列式写成**〔13.24〕

det（I+εA）=1+ε traceA

（略去了ε2及其以上的高阶项）。特别地，SL（n）的无穷小元素，即表示无穷小转动的SL（n）的元素，作为单位行列式（与GL（n）的行列式相反），可用迹为零的I+εA里的A来刻画。我们将在§13.10里讨论这种表示的意义。事实上，上述这些公式均可通过下式推广到有限的（即不是无穷小的）的线性变换***〔13.25〕：

det eA=etrace A，

这里，矩阵“eA”可像普通幂指数那样作展开（§5.3），即

我们将在§13.6和§14.6节再回到这些问题上来。