2.4.4　证明主成分的方差是依次递减

设相关系数矩阵R的p个特征根为λ₁≥λ₂≥…≥λ_p，相应的特征向量为，得

（2.57）

相对于的方差为：

Var(F₁)=a₁XX'a'₁＝a₁Ra'₁=λ₁

（2.58）

同样有Var(F_i)=λ₁，即主成分的方差依次递减，并且协方差为：

（2.59）

综上所述，根据证明可知，主成分分析中的主成分协方差是对角矩阵，其对角线上的元素恰好是原始数据相关矩阵的特征值，而主成分系数矩阵A的元素则是原始数据相关矩阵特征值相应的特征向量。矩阵A是一个正交矩阵。

于是，变量(x₁,x₂…x_p)经过变换后得到新的综合变量为

（2.60）

新的随机变量彼此不相关，且方差依次递减。